Deux pizzas moyennes ou une seule xlarge? Ou pourquoi les études d’impacts sur le Grand Prix sont formidables

They say there are no stupid questions. That’s obviously wrong […]. But it turns out that trying to thoroughly answer a stupid question can take you to some pretty interesting places. – Randall Munroe

Il y a quelques jours j’étais avec des amis et nous avons décidé de commander de la pizza. Il s’en est suivi un débat flamboyant visant à déterminer s’il valait mieux commander deux moyennes, une large ou une xlarge. Plutôt que de rester dans l’ignorance une fois de plus, j’ai décidé de prendre le taureau par le dos de la fourchette, de sortir mes mathématiques de secondaire 2 et de répondre enfin à cette question. Pour une raison bizarre, nous en viendrons à quelques considérations amusantes sur les études d’impacts concernant le Grand Prix du Canada, ce qui explique la citation en exergue.

Pour faire les calculs, j’utiliserai le logiciel R, qui me sert normalement à répondre à des questions plus importantes, mais apparemment moins urgentes. Pour ceux que cela intéresse, la syntaxe sera dans des blocs séparés du texte. Vous verrez également les résultats produits par R en réponse à cette syntaxe (une «syntaxe» consiste essentiellement en des commandes, ou du «code», qui nous permet de dire à R ce que nous voulons qu’il fasse). Ceux qui n’ont rien à faire de la syntaxe peuvent simplement sauter par-dessus les blocs. Pour ne pas gaspiller trop de temps sur cette idée un peu ridicule, je n’ai pas pris le temps d’annoter sérieusement la syntaxe. Ceci étant, ceux qui comprennent R devraient pouvoir s’y retrouver facilement.

L’offre de pizzas

L’endroit où nous nous voulions commander offrait les choix suivants :

  • Petite pizza (10 po.) à 8,99$
    • Spécial 2 petites à 14,99$
  • Moyenne pizza (12 po.) à 10,99$
    • Spécial 2 moyennes à 16,99$
  • Large pizza (14 po.) à 13,99$
    • Spécial 2 Larges à 21,99$
  • X-Large (16 po.) à 16,99$
    • Spécial 2 X-Larges à 24,99$

Puisque toutes ces pizzas viennent du même endroit, elles ont essentiellement la même qualité. Le «rapport qualité-prix» n’est donc ici pas un facteur. Ce qui nous intéresse consiste essentiellement à déterminer l’option qui nous offre le meilleur rapport prix-quantité. Ce que j’aime appeler «l’optimisation bourrative». L’exercice consiste donc tout simplement à calculer le prix par pource-carré de chacune de ces options.

Les calculs

Peut-être vous rappelez-vous avoir déjà calculé l’air d’un cercle quelque part. C’est essentiellement ce que nous allons faire. La formule, est \(\pi r^2\), où \(\pi\) est le fameux \(3,1416\) et \(r^2\) est le rayon du cercle au carré. Le rayon étant la distance entre le milieu du cercle et son extrémité, il est donc la moitié du diamètre (et il s’adonne que les pizzas sont mesurées en diamètre, la vie est si belle…).

Donc, nous avons quatre tailles de pizza qui ont chacune un rayon particulier et nous avons leur prix à l’unité et par paire de deux. Créons donc les données dans R.

Pour répondre à notre question, nous avons besoin de connaître le prix par quantité, c’est-à-dire le prix par rapport à l’aire de chaque pizza. Il nous manque donc l’aire de chacune des pizzas pour pouvoir ensuite calculer leur \(\frac{prix}{aire}\). Calculons donc l’aire de nos pizzas en appliquant la formule que nous avons vu au secondaire à chacune des tailles de pizza que nous venons de créer plus haut.

R nous dit donc que l’aire de la petite pizza est de 78.54, celle de la moyenne de 113.1, de la large 153.94 et de la Xlarge de 201.06. Ceci étant, savoir l’aire réelle des pizzas n’a que peu d’intérêt en soit si nous ne prenons pas en compte les coûts. Notre objectif est de savoir ce qui est le plus avantageux.

Pour calculer le prix par pouce-carré, il suffit de diviser le prix de la pizza par son aire, ou \(\frac {Prix}{Aire}\). Il faudra le faire à la fois pour les pizzas vendues seules et pour les offres à deux pizzas.

Les résultats

Donc, le prix à l’aire d’une petite pizza est de 0.11$ au pouce-carré, celui d’une moyenne de 0.1, celui d’une large de 0.09, et celui d’une X-large de 0.08. Les chiffres seuls sont un peu ennuyants, aussi bien les visualiser.

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La figure précédente est formidable parce qu’elle nous offre une règle de décision. La plupart du temps nous hésitons entre deux pizzas d’une certaine taille contre une pizza d’une taille plus grande. À partir du moment où l’enjeu n’est pas simplement d’en avoir assez pour tout le monde mais bien d’optimiser notre commande, on voit clairement qu’il vaut systématiquement mieux prendre deux pizzas d’une taille plus petite qu’une seule pizza d’une taille plus grande.

Ceci étant, le choix auquel mes amis et moi faisions face (et celui que la plupart d’entre-vous avez aussi probablement à faire) était de choisir entre deux moyennes ou une seule large ou Xlarge. Commençons par comparer deux pizzas moyennes à une Xlarge

Deux moyennes ou une Xlarge?

Répondons maintenant à l’une de nos questions de départ. Vaut-il mieux prendre deux pizzas moyennes ou une pizza xlarge? Notre restaurant les propose pour le même prix à 16,99$.

Nous savons maintenant que l’aire de la pizza xlarge = 201.06. L’aire d’une pizza moyenne = 113.1, donc l’aire de deux pizzas moyenne = \(2 \times {aire}_{moyenne}\) = 226.19. On en a donc plus pour son argent (16,99$) avec deux pizzas moyennes qu’avec une seule large.

Très exactement \(2\times {aire}_{moyenne} – {aire}_{xlarge}\) = 25.13 pouces-carré de plus. Ou encore pour \(\frac{(2*{aire}_{moyenne}-{aire}_{xlarge})}{{aire}_{xlarge}}\times 100\) = 12.5, ou 12,5% de plus.

Deux moyennes ou une large?

Bien entendu, si on a plus de pizza avec deux moyennes qu’avec une Xlarge, il ne faut certainement pas s’attendre à soudainement en avoir plus avec une large qu’avec deux moyennes. Formellement: \[Si\quad x >y \quad et \quad y > w \therefore w < x\]

Ceci étant, la question est ici de savoir si on paie plus cher au pouce-carré pour deux pizzas moyennes que pour une large. L’aire d’une pizza large = 153.94, alors que l’aire de deux pizzas moyennes = 226.19. La différence entre les deux est donc de 72.26. Le prix d’une large est de 13.99 alors que celui de deux moyennes est de 16.99.

Comme ni le prix ni la taille ne sont identiques, le meilleur repère est le prix au pouce-carré, ou le prix bourratif. Le prix au pouce-carré pour deux pizzas moyennes est de 0.08 alors que celui d’une seule pizza large est de 0.09. C’est donc dire que deux moyennes à 16,99$ coûtent moins cher au pouce-carré qu’une large à 13,99. On a donc avantage à prendre deux moyennes.

Donc la prochaine fois que vous serez entre amis et que l’on vous obstinera devant ces choix déchirants, présentez-leur ceci et le débat sera enfin clos. Afin de vous aider la prochaine fois, la figure suivante donne le prix au pouce-carré pour chacune des possibilités.

L’impact collectif des mauvais choix

Ma déformation professionnelle m’oblige à prendre quelques instants pour évaluer les conséquences des résultats pour la société en général. Imaginons un instant que tout le monde fasse systématiquement le mauvais choix et commande une pizza Xlarge au lieu de deux moyennes. Je vous rappelle qu’elles sont au même prix à 16,99$ alors qu’on a 12,5% de plus avec deux moyennes. Quel serait le coût social de ces mauvais choix individuels?

Supposons qu’en moyenne, les Québécois commandent de la pizza une fois aux deux mois. Donc environ une fois par 8 semaines, ou grosso modo, une fois par 60 jours. C’est donc dire que chaque jour, un Québécois aurait une probabilité de \(\frac{1}{60}\) de commander de la pizza. Nous sommes 8 millions et il y a 365 jours dans une année. Simulons cela dans R.

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Cet histogramme nous donne une idée du nombre de pizzas commandées par chaque personne dans une année. Suivant nos hypothèses, la plupart des gens en commandent environ 6 fois (la moyenne exacte de la simulation est de 6.08), très peu de gens n’en commandent aucune et une pognée de fins gourmets en commande plus de 15 fois.

Maintenant, si l’on souhaite mesurer la perte sociale totale liée à l’erreur de commander une pizza Xlarge au lieu de deux moyennes, nous avons besoin d’une unité de mesure. J’en vois deux : le nombre de bouchées de pizza et l’argent. Cependant, la perte monétaire est forcément liée à la perte en bouchées de pizza, puisque nos deux options coûtent la même chose. Calculons d’abord la perte en bouchées de pizza.

L’aire d’une pizza nous donne sa superficie en pouce-carré. Il semble relativement raisonnable d’estimer qu’une bouchée moyenne équivaut à \(\frac{1}{2}\) pouce-carré. La perte en bouchées de pizza liée à l’erreur de commander une Xlarge au lieu de deux pizzas moyennes équivaut donc à : \(2 \times ({aire}_{2\times moyennes}-{aire}_{xlarge})\). C’est-à-dire la différence en pouces-carré entre une Xlarge et deux moyennes multipliée par deux (puisque que 1 pouce-carré de pizza = 2 bouchées). Cela veut dire que techniquement, les individus perdent 50.27 bouchées de pizza chaque fois qu’ils font l’erreur de commander une large au lieu de deux moyennes.

Combien de bouchées de pizza perdues cette erreur provoquerait-elle au Québec tout entier?

R nous indique qu’en moyenne, chaque Québécois perdrait 305.75 bouchées de pizza par année. Puisqu’une pizza moyenne donne \(2 \times{aire}_{moyenne}\) = 226.19 bouchées, la perte moyenne en nombre de pizzas par Québécois est donc de \(2 \times \frac{\bar{X}_{Bouchées perdues}}{({aire}_{moyenne})}\) = 1.35. C’est donc dire que les Québécois perdraient en moyenne 1 pizza et \(\frac{1}{3}\) par année. Pour connaître le nombre total de bouchées perdues au Québec, on fait ceci :

La simulation nous indique donc que les Québécois perdraient 2446005385.93 bouchées par année au total. Cela équivaut à \(\frac{{total}_{bouchées perdues}}{(2 \times {aire}_{moyenne})}\) = 10813718, un peu plus de 10,8 millions de pizzas de tailles moyennes. Un vrai déastre!

Comment évaluer la perte que cette erreur d’optimisation bourrative cause à tout le Québec? Je propose de tout simplement calculer la valeur en argent d’une bouchée de deux pizzas moyennes commandées conjointement et de multiplier cette valeur par le nombre de total bouchées perdues.

Une pizza moyenne a une aire de 113.1 pouces-carré, l’aire de deux moyennes est donc le double = 226.19. Puisque nous estimons que 1 pouce-carré donne deux bouchées, le nombre de bouchées dans deux pizzas moyennes = \(2 \times {aire}{de2moyenne}\) = 452.39. Le prix de deux moyennes achetées conjointement étant de 16.99, la valeur de chaque bouchée est de \(\frac{16.99}{459.39}\) = 0.04. Chaque bouchée d’une commande de deux pizzas moyennes achetées conjointement vaut donc 0.04$.

Nous avons déjà déterminé que le nombre de bouchées perdues était de 2446005385.93. Pour déterminer les pertes économiques annuelles pour le Québec, il suffit donc de multiplier le nombre de bouchées perdues par leur valeur de 0.04, ce qui nous donne 91862534.41. On parle donc de pertes économiques annuelles de près de 92 millions de dollars.

Rappelons-nous que notre estimation est fondée sur les hyothèses suivantes :

  1. Les Québécois commandent en moyenne de la pizza aux deux mois.
  2. Une bouchée moyenne = \(\frac{1}{2}\) pouce-carré.
  3. Tous les Québécois font systématiquement l’erreur de commander une Xlarge au lieu de deux moyennes.

Les deux premières hypothèses sont plutôt raisonnables, la troisième est, avouons-le, un peu exagérée. Nous pourrions être plus conservateurs et estimer que la moitié des Québécois font l’erreur lorsqu’ils commandent de la pizza. Nous aurions alors la moitié de bouchées perdues et les pertes totales pour l’économie seraient donc réduites de moitié à 45931267.21, près de 46 millions de dollars au lieu de 91.

Conclusion : un peu de perspective

On peut bien rire de notre 46 millions perdus en mauvaise optimisation des commandes de pizzas, mais la plus récente étude disponible estime la valeur ajoutée à l’économie québécoise générée par le Grand Prix du Canda à 42,4 millions. Toute personne raisonnable ne peut en venir qu’à trois conclusions possibles :

  1. Soit la vente de pizzas xlarges à l’unité est un véritable fléau pour notre économie.
  2. Soit, à partir d’hypothèses vaguement raisonnables, des gens qui ont intérêt à en arriver à des gros chiffres impressionnants peuvent facilement le faire en additionnant ici et là des choses largement triviales.
  3. Soit 40 quelques millions n’est pas un chiffre qui devrait nous impressionner.

Je vous laisse décider.

Un commentaire

  1. Je ne peux m’empêcher de signifier que si tous les Québécois mangent tous 2 médium au lieu d’une x-large, ils mangeront significativement plus de croûte.

    En supposant que trois quarts de pouces sur le bord de chaque pizza est de la croûte, en choisissant de manger 2 médium au lieu d’une x-large, l’option a deux médium comptera 109,6po^2 de croûte tandis que l’option x-large n’en comportera que 75,6po^2.

    C’est probablement ce qui explique que le coût de 2 médium est inférieur en terme de prix bourratif puisque qu’il faut moins de fromage, de pepperoni et de légumes pour faire ces deux pizzas. Nous faire manger plus de croûte est un avantage économique pour le fabriquant de pizza.

    Sachant qu’au moins un quart des Québécois ne mangent pas les croûtes de pizza, si tout le monde choisit deux médiums au lieu d’une x-large, c’est une perte économique importante qui se produit à cause des bouchées de croûte perdues. Je n’ai pas le temps de faire tout le calcul pour l’évaluer mais je ne serais pas surpris qu’il s’agisse d’une perte du même ordre que celle causée par le fait de choisir une large au lieux de deux médiums.

    TL:DR: AVEZ-VOUS PENSÉ À LA CROÛTE!

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